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    2021考研数学三真题及答案解析(全)

    杰克陈

    22

    1

    3.0分

    共11页 2021-08-10 免费
    1
    2021 考研数学真题及答案解析
    数学(三)
    一、选择题(本
    10
    小题,每小
    5
    分,共
    50
    .
    每小题给出的四选项中,
    有一个选项是符合题目要求,把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上
    .
    (1)
    0x
    时,
    2
    3
    0
    ( 1)
    x
    t
    e dt
    7
    x
    (A)低阶无穷小. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无穷小.
    答案C.
    解析因为当
    0x
    时,
    2
    3 6
    7
    0
    ( 1) 2 ( 1) 2
    x
    t x
    e dt x e x
    所以
    2
    3
    0
    ( 1)
    x
    t
    e dt
    7
    x
    高阶无穷小
    确答案为 C.
    (2)函数
    1
    , 0
    ( )=
    1, 0
    x
    e
    x
    f x
    x
    x
    ,
    0x
    (A)连续且取极大值. (B)连续且取极小.
    (C)可导且导数为 0. (D)可导且导数不 0.
    答案D.
    解析】因
    0 0
    1
    lim ( )= lim 1 (0)
    x
    x x
    e
    f x f
    x
    ,故
    0x
    处连续;
    因为
    2
    0 0 0
    1
    1
    ( ) (0) 1 1
    lim = lim lim
    0 0 2
    x
    x
    x x x
    e
    f x f e x
    x
    x x x
    ,故
    1
    (0)
    2
    f
    ,正确答案为 D.
    (3)设函数
    ( ) ln ( 0)f x ax b x a
    有两个零点,
    b
    a
    的取值范围是
    (A)
    ( , )e 
    . (B)
    . (C)
    1
    (0, )
    e
    . (D)
    1
    ( , )
    e
    
    .
    答案A.
    解析
    ( ) ln 0f x ax b x
    ( )
    b
    f x a
    x
    ( ) 0f x
    有驻点
    b
    x
    a
    ln 0
    b b b
    f a b
    a a a
    从而
    ln 1
    b
    a
    ,可得
    b
    e
    a
    ,正确答案为 A.
    (4)设函数
    ( , )f x y
    可微,
    2
    ( 1, ) ( 1)
    x
    f x e x x
    2 2
    ( , ) 2 lnf x x x x
    ,则
    (1,1)df
    (A)
    dx dy
    . (B)
    dx dy
    . (C)
    dy
    . (D)
    dy
    .
    答案C.
    解析
    2
    1 2
    ( 1, ) ( 1, ) ( 1) 2 ( 1)
    x x x
    f x e e f x e x x x
    2 2
    1 2
    ( , ) 2 ( , ) 4 ln 2f x x xf x x x x x
    2021考研数学三试卷解析
    2
    分别将
    0
    0
    x
    y
    1
    1
    x
    y
    带入①②式有
    1 2
    (1,1) (1,1) 1f f
    1 2
    (1,1) 2 (1,1) 2f f
    联立可得
    1
    (1,1) 0f
    2
    (1,1) 1f
    1 2
    (1,1) (1,1) (1,1)df f dx f dy dy
    ,故正确答案 C.
    (5)二次型
    2 2 2
    1 2 3 1 2 2 3 3 1
    ( , , ) ( ) ( ) ( )f x x x x x x x x x
    的正惯性指数与负惯性指数依次为
    (A)
    2,0
    . (B)
    1,1
    . (C)
    2,1
    . (D)
    1, 2
    .
    答案B.
    解析
    2 2 2 2
    1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 3
    ( , , ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2f x x x x x x x x x x x x x x x x
    所以
    0 1 1
    1 2 1
    1 1 0
    A
    ,故特征多项式为
    1 1
    | | 1 2 1 ( 1)( 3)
    1 1
    E A
    令上式等于零,故特征值为
    1
    3
    0
    ,故该二次型的正惯性指数 1,负惯性指数 1.故应选 B.
    (6)
    1 2 3 4
    ( , , , )
    A
    4 阶正交矩,若矩阵
    T
    1
    T
    2
    T
    3
    =
    B
    1
    1
    1
     
     
     
     
     
    k
    表示任意数,
    则线性方程组
    Bx
    的通解
    x
    (A)
    2 3 4 1
    k
    . (B)
    1 3 4 2
    k
    .
    (C)
    1 2 4 3
    k
    . (D)
    1 2 3 4
    k
    .
    答案D.
    】因
    1 2 3 4
    ( , , , )
    A
    4 阶正交矩,所向量
    1 2 3 4
    , , ,
    是一组标正交
    ( ) 3r B
    T
    1
    T
    4 2 4
    T
    3
    =
    0B
    线
    0Bx
    4
    k
    .
    T
    1
    T
    1 2 3 2 1 2 3
    T
    3
    1
    ( ) = ( ) 1
    1
     
     
     
     
     
    B
    线
    Bx
    1 2 3 4
    k x
    ,其中
    k
    为任意常数.故应选 D.
    (7)已知矩
    1 0 1
    2 1 1
    1 2 5
    A
    若下三角可逆矩
    P
    和上三角可逆矩阵
    Q
    使
    PAQ
    为对角
    矩阵,则
    P
    Q
    可以分别取
    2021考研数学三试卷解析
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    杰克陈

    心中有阳光,脚下有力量,为了理想能坚持,不懈怠,才能创造无愧于时代的人生
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